725 How To Find The Sides Of A Rectangle With Given Conditions

In this article, we will delve into the fascinating world of rectangles and explore how to determine their sides given various pieces of information. Specifically, we will tackle problem 725, which presents three scenarios where we need to find the sides of a rectangle based on different conditions. Whether you're a student grappling with geometry concepts or simply someone intrigued by mathematical problem-solving, this guide will provide you with a clear and step-by-step approach to solving these types of problems.

У цій статті ми заглибимося у захопливий світ прямокутників і дослідимо, як визначити їхні сторони, маючи різну інформацію. Зокрема, ми розглянемо задачу 725, яка представляє три сценарії, де нам потрібно знайти сторони прямокутника на основі різних умов. Незалежно від того, чи ви студент, який бореться з геометричними концепціями, чи просто людина, заінтригована математичним розв'язуванням задач, цей посібник надасть вам чіткий і покроковий підхід до розв'язання задач такого типу.

Problem Statement

The problem asks us to find the sides of a rectangle in three different cases:

Задача просить нас знайти сторони прямокутника в трьох різних випадках:

a) One side is 5 cm, and the diagonal is 13 cm.

a) Одна сторона дорівнює 5 см, а діагональ - 13 см.

b) The diagonal is 10 cm and forms a 60° angle with one side.

b) Діагональ дорівнює 10 см і утворює кут 60° з однією стороною.

c) The sides are proportional to the numbers 5 and 12, and the diagonal is 26 cm.

c) Сторони пропорційні числам 5 і 12, а діагональ дорівнює 26 см.

Let's break down each case and develop a strategy to find the sides of the rectangle.

Давайте розберемо кожен випадок і розробимо стратегію для знаходження сторін прямокутника.

Case a) One Side and the Diagonal are Given

Випадок a) Задано одну сторону і діагональ

In this scenario, we are given that one side of the rectangle is 5 cm and the diagonal is 13 cm. Let's denote the sides of the rectangle as a and b, where a = 5 cm. The diagonal, which we'll call d, is 13 cm. Since a rectangle has four right angles, we can use the Pythagorean theorem to relate the sides and the diagonal.

У цьому сценарії нам дано, що одна сторона прямокутника дорівнює 5 см, а діагональ - 13 см. Позначимо сторони прямокутника як a і b, де a = 5 см. Діагональ, яку ми назвемо d, дорівнює 13 см. Оскільки прямокутник має чотири прямі кути, ми можемо використати теорему Піфагора, щоб пов'язати сторони і діагональ.

The Pythagorean theorem states that in a right-angled triangle, the square of the hypotenuse (the side opposite the right angle) is equal to the sum of the squares of the other two sides. In our case, the diagonal of the rectangle acts as the hypotenuse, and the sides of the rectangle are the other two sides. Therefore, we have:

Теорема Піфагора стверджує, що в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи (сторони, протилежної прямому куту) дорівнює сумі квадратів двох інших сторін. У нашому випадку діагональ прямокутника виступає в ролі гіпотенузи, а сторони прямокутника є двома іншими сторонами. Тому ми маємо:

d² = a² + b²

Now, we can substitute the given values:

Тепер ми можемо підставити задані значення:

13² = 5² + b²

169 = 25 + b²

To find b², we subtract 25 from both sides:

Щоб знайти b², віднімемо 25 з обох сторін:

b² = 169 - 25

b² = 144

Finally, to find b, we take the square root of both sides:

Нарешті, щоб знайти b, беремо квадратний корінь з обох сторін:

b = √144

b = 12 cm

So, the sides of the rectangle in case a) are 5 cm and 12 cm.

Отже, сторони прямокутника у випадку a) становлять 5 см і 12 см.

Case b) Diagonal and Angle with a Side are Given

Випадок b) Задано діагональ і кут зі стороною

In this case, we know the diagonal (d) is 10 cm and it forms a 60° angle with one of the sides. Let's call the side adjacent to the 60° angle a and the other side b. We can use trigonometric ratios to relate the sides and the diagonal.

У цьому випадку ми знаємо, що діагональ (d) дорівнює 10 см і утворює кут 60° з однією зі сторін. Назвемо сторону, прилеглу до кута 60°, a, а іншу сторону - b. Ми можемо використовувати тригонометричні співвідношення, щоб пов'язати сторони і діагональ.

Consider the right-angled triangle formed by the sides and the diagonal. The cosine of the 60° angle is equal to the adjacent side (a) divided by the hypotenuse (d), and the sine of the 60° angle is equal to the opposite side (b) divided by the hypotenuse (d).

Розглянемо прямокутний трикутник, утворений сторонами і діагоналлю. Косинус кута 60° дорівнює прилеглій стороні (a), поділеній на гіпотенузу (d), а синус кута 60° дорівнює протилежній стороні (b), поділеній на гіпотенузу (d).

We have:

Ми маємо:

cos(60°) = a / d

sin(60°) = b / d

We know that cos(60°) = 1/2 and sin(60°) = √3/2. Substituting these values and d = 10 cm, we get:

Ми знаємо, що cos(60°) = 1/2, а sin(60°) = √3/2. Підставивши ці значення і d = 10 см, отримаємо:

1/2 = a / 10

√3/2 = b / 10

Solving for a and b:

Розв'язуємо для a і b:

a = 10 * (1/2) = 5 cm

b = 10 * (√3/2) = 5√3 cm

Therefore, the sides of the rectangle in case b) are 5 cm and 5√3 cm.

Отже, сторони прямокутника у випадку b) становлять 5 см і 5√3 см.

Case c) Sides Proportional to 5 and 12, and the Diagonal is Given

Випадок c) Сторони пропорційні 5 і 12, а діагональ задана

In this scenario, we are given that the sides are proportional to the numbers 5 and 12. This means that we can express the sides as a = 5k and b = 12k, where k is a constant of proportionality. We are also given that the diagonal (d) is 26 cm. Again, we can use the Pythagorean theorem:

У цьому сценарії нам дано, що сторони пропорційні числам 5 і 12. Це означає, що ми можемо виразити сторони як a = 5k і b = 12k, де k - константа пропорційності. Нам також дано, що діагональ (d) дорівнює 26 см. Знову ж таки, ми можемо використати теорему Піфагора:

d² = a² + b²

Substituting the expressions for a and b and the value of d:

Підставивши вирази для a і b і значення d:

26² = (5k)² + (12k)²

676 = 25k² + 144k²

676 = 169k²

To find k², we divide both sides by 169:

Щоб знайти k², розділимо обидві сторони на 169:

k² = 676 / 169

k² = 4

Taking the square root of both sides:

Беремо квадратний корінь з обох сторін:

k = √4

k = 2

Now we can find the sides a and b:

Тепер ми можемо знайти сторони a і b:

a = 5 * 2 = 10 cm

b = 12 * 2 = 24 cm

Thus, the sides of the rectangle in case c) are 10 cm and 24 cm.

Отже, сторони прямокутника у випадку c) становлять 10 см і 24 см.

Summary of Solutions

Підсумок розв'язків

Let's summarize the solutions for each case:

Підсумуємо розв'язки для кожного випадку:

a) Sides: 5 cm and 12 cm

a) Сторони: 5 см і 12 см

b) Sides: 5 cm and 5√3 cm

b) Сторони: 5 см і 5√3 см

c) Sides: 10 cm and 24 cm

c) Сторони: 10 см і 24 см

Conclusion

Висновок

In this article, we successfully found the sides of a rectangle in three different scenarios using the Pythagorean theorem and trigonometric ratios. We demonstrated how to apply these concepts to solve geometric problems and provided a step-by-step guide for each case. By understanding these methods, you can confidently tackle similar problems and deepen your understanding of geometry.

У цій статті ми успішно знайшли сторони прямокутника в трьох різних сценаріях, використовуючи теорему Піфагора і тригонометричні співвідношення. Ми продемонстрували, як застосовувати ці концепції для розв'язання геометричних задач, і надали покроковий посібник для кожного випадку. Розуміючи ці методи, ви зможете впевнено розв'язувати подібні задачі і поглибити своє розуміння геометрії.

This problem showcases the power of mathematical tools in solving real-world geometric challenges. Whether you are calculating dimensions for construction, designing layouts, or simply exploring the beauty of mathematics, these skills are invaluable.

Ця задача демонструє силу математичних інструментів у розв'язанні реальних геометричних задач. Незалежно від того, чи обчислюєте ви розміри для будівництва, розробляєте макети чи просто досліджуєте красу математики, ці навички є безцінними.